Ejercicios.

Ejercicio 1.

En la vuelta a Colombia hay una etapa de 190 Km. Los participantes reciben una gráfica con la información del recorrido.

Responde:

¿A que distancia de la partida esta el puerto de categoría 1?

¿Que altura tiene ese puerto?

Ambas preguntas podemos resolverlas observando la gráfica, así:

El puerto de la categoría 1 está situado a 50 km de la salida.

El puerto de la categoría 1 tiene 2100 metros de altura.

Observa la gráfica y contesta:

¿A que altura está situada la salida y la meta?

¿A que altura está el punto A?

¿A cuantos kilómetros de la salida está situado el puerto de categoría 2?

¿Cuantos kilómetros han recorrido los ciclistas hasta el punto B?

Ejercicio 2.

Mariana realizó una encuesta en el grado 6ºB, para averiguar sus preferencias por las áreas académicas.

Una vez recogida la información, procedió a representarla así:

De acuerdo con el diagrama de barras, contesta:

¿Cuantos estudiantes prefieren español?

¿Cual es el área más popular entre los estudiantes de 6ºB?

¿Con que frecuencia se repite el dato catequesis? 

¿Cuantos estudiantes respondieron la encuesta?

Ejercicio 3.

La profesora Lina le pregunto a los 45 estudiantes de 6ºC lo que habían hecho el fin de semana pasado y recogió toda la información en una tabla así:

Esta manera de representar la información es mediante el diagrama circular. Para obtener los ángulos que corresponden a cada parte de la información, procedemos así:

• En todo círculo podemos trazar 360 ángulos iguales cuyos vértices coinciden en el centro del círculo. Cada uno de estos ángulos es lo que llamamos grado.
  
• El número de ángulos en que dividimos el círculo depende del número total de elementos que dieron la información (en este caso, 45 estudiantes) y de la frecuencia de cada dato.
  
• Como la información la dieron 45 estudiantes, entonces debemos dividir 360 entre 45: 360/45=8.
  
• ¿Que indica el 360? ¿Y el 45? ¿Y el 8? El 8 corresponde al número de grados del círculo que corresponde a cada estudiante. Por lo tanto:
  -A 15 estudiantes le corresponden: 15 x 8º = 120º
  -A 18 estudiantes le corresponden: 18 x 8º = 144º
  -A 9 estudiantes le corresponden: 9 x 8º = 72º
  -A 3 estudiantes le corresponden: 3 x 8º = 24º
  
• Finalmente llevamos estos datos al circulo y con el transportador medimos los ángulos obtenidos. Esta es la figura que resulta:

Ejemplo:

Un almacén de electrodomésticos vendió el mes pasado, los artículos que indica el siguiente diagrama circular.

Contestemos:

a) ¿Cuantos artículos vendió el almacén?

b) ¿Cuantas neveras?

c) ¿Cuantos televisores?

d) Elaboremos una tabla de datos.

Solución:

a) Observemos que la circunferencia del diagrama circular está dividido en 24 partes iguales, esto quiere decir que el almacén vendió 24 artículos el mes pasado.

b) El diagrama circular nos muestra que el ángulo correspondiente a NEVERAS tiene 4 divisiones; por lo tanto, el almacén vendió 4 neveras.

c) La franja angular correspondiente a los televisores tiene 2 divisiones; luego, el almacén vendió dos televisores.

d) Esta es la tabla de datos:

Definiciones básicas (video)

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADISTICA

Estadística:

 La estadística es un área de las matemáticas que permite recolectar, organizar e interpretar la información asociada a diferentes actividades del quehacer humano en forma sistemática.

Población: 

Un conjunto de elementos de alguna manera relacionados entre sí, presentes en un espacio dado, durante un tiempo determinado.

Población infinita: 

Cuando el número de elementos que la forman es infinito o tan grande que puede considerarse como tal.

Población finita: 

Cuando el número de elementos que la forman se puede contar.

Muestra: 

Es un subconjunto que es representativo de la población de donde se extrajo.

Variable: 

Es la característica de la situación o del objeto estudiado. Puede tomar diversos 

valores.

Distribución de frecuencias.

Tabla de distribución de frecuencias

Una tabla de distribución de frecuencias es una representación organizada de un conjunto de datos. Éstos indican los valores de las frecuencias para distintos elementos.

Frecuencia absoluta: 

Es el número de veces que se repite la variable.

Frecuencia acumulada: 

Es la suma de la frecuencia absoluta del dato, con la del dato anterior.

Construcción e interpretación de una tabla de distribución de frecuencias.

Para construir una tabla de distribución de frecuencias contamos los datos y hacemos lo siguiente:

Para interpretar una tabla de distribución de frecuencias comparamos y analizamos los datos que en ella se presentan y luego extraemos las conclusiones.

De la información presentada en la tabla podemos concluir que:

• La mayoría de los 45 estudiantes encuestados toma jugo de naranja en el desayuno sólo algunas veces.
• Otra parte, formada por 14 estudiantes, afirma que toma jugo de naranja en el desayuno casi siempre.
• Muy pocos estudiantes de los encuestados (4) afirman que no toman jugo de naranja nunca.

Media:

Es el promedio de la serie de dato o valores que toma la variable estadística.

Para datos no agrupados:

Sumamos todos los datos y el resultado lo dividimos entre el total de ellos. 

Ejemplo: si la cantidad de bicicletas que tiene cada familia de una zona es 1, 2, 1, 1, 3, 2, y 3, podemos hallar la media haciendo los cálculos que están a la derecha.

Para datos agrupados:

Multiplicamos los datos por su frecuencia absoluta. Luego sumamos los productos y el resultado lo dividimos entre el total de datos. 

Por ejemplo, veamos la siguiente tabla:

Si queremos calcular la media del número por parejas hacemos lo siguiente:

Finalmente, las parejas tienen en promedio 2 hijos.

Mediana:

La mediana (Me) es el dato central o el promedio de los datos centrales cuando está ordenados.

Para hallar la mediana, tomamos en cuenta si los datos están agrupados o no: 

Para datos no agrupados:

Ordenamos los datos de mayor a menos o viceversa. Si el número de datos es impar, la mediana es el dato central. Si el número de datos es par, la mediana es el promedio de los dos datos centrales.

Por ejemplo, veamos las edades de varias personas:

10, 10, 10, 20, 30, 30, 30 y 30.

Para calcular la mediana de esas edades, hacemos lo siguiente:

Determinamos los datos centrales (20 y 30) y calculamos la media aritmética de ellos:

Finalmente, la mediana de las edades es 25.

Para datos agrupados:

Para calcular la mediana de datos agrupados, dividimos el total de datos entre dos y buscamos el valor de la frecuencia acumulada mayor, más cercana.

Por ejemplo, veamos la tabla. Si queremos determinar la mediana de estos datos hacemos la siguiente división: 13/2= 6,5

Luego, buscamos la frecuencia acumulada mayor a 6,5 pero más cercana a este número. En este caso, es 10. Como esta frecuencia corresponde a los datos cuyo valor es 2, entonces la mediana es 2, Me=2.

Moda:

Es el dato que tiene mayor frecuencia, es decir, el dato que más se repite. 

Ejemplo:

•  El conjunto 2,2,5,7,9,9,9,10,10,11,12 y 18 tiene moda 9. 
• El conjunto 3,5,8,10,12,15 y 16 no tiene moda. 
• El conjunto 2,3,4,4,4,5,5,7,7,7 y 9 tiene dos modas, 4 y 7 y se llama bimodal. 

Gráficos estadísticos.

Diagrama de Barras.

Los diagramas de barras son gráficos estadísticos donde los datos y las frecuencias son representadas en dos ejes: uno vertical y otro horizontal.

Observemos el siguiente gráfico. En el, se muestra la temperatura mínima registrada en la hora de receso de una escuela.

Los diagramas de barras los utilizamos, generalmente, para presentar datos numéricos de situaciones que ocurren en un determinado tiempo.

Elaboración  de diagramas de barras:

Para elaborar el diagrama de barras, primero organizamos la variable en el eje horizontal y la frecuencia en el eje vertical.

Por ejemplo:

Para construir el diagrama de barras de la siguiente tabla trazamos las barras verticales del tamaño de la frecuencia correspondiente.

Diagramas circulares.

Los diagramas circulares son gráficos estadísticos que se presentan las frecuencias de los datos por medio de sectores circulares que representan una fracción del total. Cada fracción del total la podemos expresar por medio de un porcentaje.

Elaboración  de diagramas circulares:

Para representar los datos de una tabla en un diagrama circular, hacemos lo siguiente:

• Como un circulo tiene 360º  y representa a los 30 individuos, determinamos los grados del sector circular que representa cada persona, dividiendo 360º entre 30.

360/30 = 12º

• calculamos los grados del sector de cada dato. para ello, multiplicamos el grado obtenido (12º) por cada frecuencia absoluta.

  Arquitectos - 12º x 7 = 84º

Albañiles - 12º x 7 = 144º

Ingenieros - 12º x 4 = 48º

Policías - 12º x 7 = 84º 

• Luego con un compás trazamos un circulo y con un transportador lo dividimos en porciones que midan los grados calculados.

Histograma.

El histograma es un gráfico de barras continuas que se construye con los valores continuos, como por ejemplo el siguiente histograma.

Para realizar un histograma agrupamos los datos en intervalos y dibujamos las barras a la altura de la frecuencia correspondiente, pero tomando en cuenta que las barras se colocan una seguida de la otra.

Del anterior histograma podemos observar y concluir lo siguiente:

• La mayor cantidad de estudiantes, aprobaron el primer parcial.
• La menor cantidad de estudiantes fueron los sobresalientes en el primer parcial.
• 9 estudiantes estuvieron muy deficientes, con notas menores a 3.
• Tan solo 11 estudiantes sacaron una nota notable en el primer parcial.